复习集合论－作业

• 1.1 集合及其运算
• 1.2 映射与基数
• 1.3 开集
• 1.4 Cantor 集

1.1 集合及其运算

练习 1.1

设 $f(x)$ 是定义在 $E$ 上的实值函数，求证

$$\begin{aligned} (1) \quad \{x \in E: f(x)>a \} &= \bigcup^{\infty}_{n=1} \left\{x \in E: f(x)>a+\dfrac{1}{n}\right\} \\[0.5em] (2) \quad \{x \in E: f(x) \leqslant a \} &= \bigcap^{\infty}_{n=1} \left\{x \in E: f(x)\leqslant a +\dfrac{1}{n}\right\} \end{aligned}$$

证明：

(1)

先证等号左边属于右边即往证 $\{x \in E: f(x)>a\} \sub \bigcup_{n=1}^\infty \left\{x\in E : f(x)>a+\dfrac{1}{n}\right\}$

$\forall x_0 \in \{x \in E: f(x)>a\}$

有 $f(x_0)>a$ 也即 $\exists y_0 \in (0,+\infty)$ 使得 $f(x_0)>a+y_0$

取 $n_0= \lfloor \dfrac{1}{y_0}\rfloor+1$ 则 $y_0>\dfrac{1}{n_0}$

$$f(x_0)>a+y_0>a+\dfrac{1}{n_0} \\[0.5em] x_0 \in \left\{x \in E: f(x)>a+\dfrac{1}{n_0}\right\} \\[0.5em] \Rightarrow x_0 \in \bigcup^{\infty}_{n=1} \left\{x \in E: f(x)>a+\dfrac{1}{n}\right\}$$

即 $\forall x_0 \in \{x \in E: f(x)>a\}$ 有 $x_0 \in \bigcup_{n=1}^\infty \{x\in E : f(x)>a+\dfrac{1}{n}\}$

$$\Rightarrow \{x \in E: f(x)>a\} \sub \bigcup_{n=1}^\infty \left\{x\in E : f(x)>a+\dfrac{1}{n}\right\}$$

再证等号右边属于左边即往证 $\bigcup_{n=1}^\infty \left\{x\in E: f(x)>a+\dfrac{1}{n}\right\} \sub \left\{x\in E: f(x)>a\right\}$

$f(x)>a+\dfrac{1}{n}>a$ 即对 $\forall n \in \mathbb{Z}_+$ 有

$$若\ x_1 \in \left\{x\in E: f(x)>a+\dfrac{1}{n}\right\} 则\ x_1 \in \left\{x\in E: f(x)>a\right\} \\[0.5em] \Rightarrow 若\ x_2 \in \bigcup_{n=1}^\infty \left\{x\in E: f(x)>a+\dfrac{1}{n}\right\} 则\ x_2 \in \left\{x\in E: f(x)>a\right\} \\[0.5em] \Rightarrow \bigcup_{n=1}^\infty \left\{x\in E: f(x)>a+\dfrac{1}{n}\right\} \sub \left\{x\in E: f(x)>a\right\}$$

(2)

等号左边属于右边即 $\{x \in E: f(x) \leqslant a \} \sub \bigcap^{\infty}_{n=1} \left\{x \in E: f(x)\leqslant a +\dfrac{1}{n}\right\}$ 是显然的

再证等号右边属于左边即往证 $\bigcap^{\infty}_{n=1} \left\{x \in E: f(x)\leqslant a +\dfrac{1}{n}\right\} \sub \{x \in E: f(x) \leqslant a \}$

$$设\ x_1 \notin \{x \in E: f(x) \leqslant a \} \ 即\ x_1>a \\[0.5em] 则\ \exists\ \varepsilon >0 \ 使得\ x_1>a+\varepsilon \\[0.5em] \Rightarrow \exists\ n_1 \in \mathbb{N}_+ \ 使得\ x_1>a+\dfrac{1}{n_1} \\[0.5em] \Rightarrow x_1 \notin \left\{x \in E: f(x)\leqslant a +\dfrac{1}{n_1}\right\} \\ \Rightarrow x_1 \notin \bigcap^{\infty}_{n=1} \left\{x \in E: f(x)\leqslant a +\dfrac{1}{n}\right\} \\[0.5em] 以上由反证法（逆否命题）知\bigcap^{\infty}_{n=1} \left\{x \in E: f(x)\leqslant a +\dfrac{1}{n}\right\} \sub \{x \in E: f(x) \leqslant a \}$$

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练习 1.2

设 $f(x), f_1(x), f_2(x), \cdots$ 都是定义在 $E$ 上的实值函数，求证

函数列 $\{f_n(x), n \geq 1\}$ 收敛到 $f(x)$ 的点 $x$ 构成的集合为是

$$\begin{aligned} \{x \in E: f_n(x)>f(x) \} = \bigcap^{\infty}_{k=1} \bigcup^{\infty}_{n=1} \bigcap^{\infty}_{m=n} \left\{ x \in E: |f_m(x)-f(x)|<\dfrac{1}{k} \right\} \end{aligned}$$

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练习 1.3

求证

$$\begin{aligned} \left( \underset{n \to \infty}{\underline{\lim}} A_n \right)^c= \underset{n \to \infty}{\overline{\lim}} A_n^c \qquad \qquad \left( \underset{n \to \infty}{\overline{\lim}} A_n \right)^c= \underset{n \to \infty}{\underline{\lim}} A_n^c \end{aligned}$$

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练习 1.4

求集列 $A_n = \left(\dfrac{1}{n},1+\dfrac{1}{n}\right)(n=1,2,\cdots)$ 的上极限集和下极限集

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练习 1.5

设 $\{A_n = n \geqslant 1\}$ 为任一集列，问下面等式是否成立

$(1) \quad \underset{n \to \infty}{\overline{\lim}}A_n = \left( \underset{n \to \infty}{\overline{\lim}} A_{2n-1}\right)\cup \left( \underset{n \to \infty}{\overline{\lim}} A_{2n}\right)$

$(2) \quad \underset{n \to \infty}{\underline{\lim}}A_n = \left( \underset{n \to \infty}{\underline{\lim}} A_{2n-1}\right)\cap \left( \underset{n \to \infty}{\underline{\lim}} A_{2n}\right)$

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练习 1.6

设下列涉及的集合都是全集 $X$ 的子集，求证

$(1)\quad \chi_X (x)=1 \qquad \chi_\varnothing =0$

$(2)\quad \text{若 } A \sub B \text{ 则 } \chi_A (x) \leqslant \chi_B (x)$

$(3)\quad \chi_{\cup_{\alpha} A_\alpha} (x) = \max_{\alpha} \chi_{A_\alpha} (x) \qquad \chi_{\cap_{\alpha} A_\alpha} (x) = \min_{\alpha} \chi_{A_\alpha} (x)$

$(4)\quad \chi_{\underset{n \to \infty}{\overline{\lim}} A_n} = \underset{n \to \infty}{\overline{\lim}} \chi_{A_n} \qquad \chi_{\underset{n \to \infty}{\underline{\lim}} A_n} = \underset{n \to \infty}{\underline{\lim}} \chi_{A_n}$

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1.2 映射与基数

练习 1.7

记有理数集为 $\mathbb{Q}$
设 $f, g$ 皆为 X 上的实值函数，求证

$$\Big\{x \in X: f(x)>g(x)\Big\}=\bigcup_{r \in \mathbb{Q}} \bigg( \Big\{x \in X: f(x)>r\Big\}>\Big\{x \in X: g(x)<r\Big\} \bigg)$$

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练习 1.8

设 $A=\{(x,y): x^2+y^2\leqslant 1\}, B=\{(x,y): x^2+y^2<1\}$

求证   $A$ 和 $B$ 对等   $A \backslash B$ 与 $\mathbb{R}^1$ 对等

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练习 1.9

设 $A$ 是 $\mathbb{R}^1$ 中的非空集合

求证集合 $B=\Big\{ x \in A: \exists \ \delta_x>0 \text{ 使得 } \big(x,x+\delta_x\big)\cap A=\varnothing \Big\}$ 是可数集

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练习 1.10

设 $f(x)$ 是定义在 $[0,1]$ 上的实值函数，且存在常数 M，使得对于 $[0,1]$ 中的任意有限个数 $x_1, x_2, \cdots, x_n$，均有 $\lvert f(x_1)+f(x_2)+\cdots +f(x_n) \rvert \leqslant M$

求证：集合 $E=\big\{ x \in [0,1]: f(x) \neq 0 \big\}$ 为可数集

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1.3 开集

练习 1.11

在 $\mathbb{R}^1$ 中，$A=[-1,0)\cup \{1\}\cup [2,3]$，求 $A^\circ$

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练习 1.12

求证：$\forall A \sub \mathbb{R}^n, \space A^\circ \sub A, \space$ 有   $A$ 为开集 $\Leftrightarrow A=A^\circ$

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练习 1.13

在 $\mathbb{R}^1$ 中，$A=[-1,0)\cup \{1\}$，求 $A^\circ$ 和 $A$

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练习 1.14

求证 $x \in A^\prime \Leftrightarrow \forall \varepsilon>0, (U(x,\varepsilon)\backslash\{x\})\cap A \neq \varnothing$

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练习 1.15

求证 $\mathbb{Q}^\prime = \mathbb{R}^1$ 从而 $\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}^1$

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练习 1.16

设 f(x) 是定义在 $\mathbb{R}^1$ 上的单调增函数，求证：集合

$E=\{x: \forall \varepsilon >0 \text{ 有 } f(x+\varepsilon)-f(x-\varepsilon)>0\}$ 是 $\mathbb{R}^1$ 中的闭集

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练习 1.17

(1) $G_\delta$ 型集和 $F_\delta$ 型集都是 $\text{Borel}$ 集

(2) $G_\delta$ 型集未必是开集，$F_\delta$ 型集未必是闭集

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练习 1.18

闭集是 $G_\delta$ 型集，开集是 $F_\delta$ 型集

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练习 1.19

设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}^1$ 上的实值函数，求证：

$f \in \mathcal{C}(\mathbb{R}^n)$ (即 $f$ 是连续函数) 当且仅当对任意的常数 $a$，
集合 $\{x: f(x)\leqslant a\}$ 和 $\{x: f(x)\geqslant a\}$ 都是闭集

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练习 1.20

设 $f$ 是定义在 $\mathbb{R}^1$ 上的实值函数，则 $f \in \mathcal{C}(\mathbb{R}^n)$ 当且仅当
对任意的 $G \in \mathcal{O} (\mathbb{R}^1), f^{-1} (G) \in \mathcal{O} (\mathbb{R}^n)$

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练习 1.21

举例说明：设 $f$ 是定义在 $\mathbb{R}^1$ 上的连续函数，$G$ 为开集，但
像集合 $f(G)$ 未必是开集

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练习 1.22

设 $f$ 是定义在 $\mathbb{R}^1$ 上的实值函数，求证：
$f$ 的连续点集为 $G_\delta$ 型集

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1.4 Cantor 集

本节无练习